(При изучении тем: «Многогранники», «Тела», «Вращения»)

Для подавляющего большинства школьников математика скорее не цель, а средство, широко используемое как в качестве мощного инструмента познания в области смежных дисциплин, так и в житейских ситуациях. Наличие знаний не означает, что они являются активным запасом учащихся, что ученики способны применять их в различных конкретных ситуациях. Такая способность не проявляется стихийно. Она формируется в процессе целесообразного педагогического воздействия, обеспечивающего приобретение школьниками таких знаний, на которые они смогут широко опираться в трудовой и общественной деятельности.

Подобный уровень математической подготовки достигается в процессе обучения, ориентированного на широкое раскрытие связей математики с окружающим миром, с современным производством. В осуществлении связи преподавания математики с практической деятельностью особую значимость приобретает производственное окружение школы: именно с ним, как правило связаны профессиональная ориентация и подготовка, производительный труд учащихся. Это создает предпосылки для реализации такой связи в наиболее естественных и близких ученикам условиях. Немаловажное значение имеет связь преподавания математики с трудом в сельской школе.

Под математической задачей с практическим содержанием (задачей прикладного характера) мы понимаем задачу, фабула которой раскрывает приложения математики в смежных учебных дисциплинах, знакомит с ее использованием в организации, технологии и экономике современного производства, в сфере обслуживания, в быту, при выполнении трудовых операций. Примеры из окружающей действительности позволяют раскрывать перед учащимися практическую значимость математики, широкую общность ее выводов.

Эти примеры должны быть простыми, убедительными, доступными пониманию школьников. Большую познавательную ценность представляет выполнение упражнений, связанных с выделением на реальных предметах, их моделях или чертежах знакомых геометрических форм. Ценность подобных упражнений в том, что подавляющее большинство деталей и узлов машин и механизмов представляет собой совокупность геометрических тел, и ученикам надо уметь выделять на них знакомые формы. Такая работа способствует развитию пространственных представлений школьников, расширению их кругозора и является эффективным средством укрепления связи обучения с жизнью.

Используемые примеры следует сопровождать и практическими выводами. Различны формы использования задач с практическим содержанием для закрепления и углубления знаний учащихся по математике. Эти задачи могут быть применены и в работе со всем классом, и для индивидуальной работы с отдельными учениками, и в качестве творческих заданий школьникам, проявляющим интерес к математике и ее приложениям. Для закрепления знаний по математике можно использовать задачи с практическим содержанием:

а) решение, которых ориентировано на применение изучаемого материала по математике;
б) фабула, которых раскрывает характерные применения математики в производственной деятельности;
в) методы и результаты решения, которых могут найти применение на практике.

Для наглядности условия задач надо сопроводить рисунками, чертежами, схемами, фотографиями. Опыт показывает, что в систему упражнений, предназначенных для закрепления знаний учащихся, целесообразно в числе других включить задачи с практическим содержанием с недостающими значениями данных величин, а в отдельных случаях и с недостающими данными. Это создает условия для выработки у учащихся таких полезных политехнических умений, как выполнение измерений, использование таблиц и справочников, из которых они смогут взять значения тех или иных величин либо выяснить, какие данные нужны для решения той или иной задачи. Задачи с практическим содержанием в школьных учебниках представлены преимущественно в виде стандартных текстовых алгебраических и геометрических задач.

Содержание используемых в школьном обучении задач прикладного характера можно обогатить, включив в их число следующие разновидности задач: 1) на вычисление значений величин, встречающихся в практической деятельности; 2) на составление расчетных таблиц; 3) на применение и обоснование эмпирических формул; 4) на вывод формул зависимостей, встречающихся на практике.

Задачи для практикума (уровень, А)

1) Длина железнодорожной шпалы 2,7 м. Размеры поперечного сечения указаны на рисунке (рис. 1). Сколько шпал можно погрузить на платформу грузоподъемностью 17 т. Плотность дерева равна 0,8 г/см3

2) Скирда имеет форму призмы с пятиугольным основанием. АЕ = 6 м; CF = 6 м; ДК = 4 м; ВД = 4,2 м. (рис. 2). Вычислить массу сена в скирде, длиной 24 м, если масса 1 м³ сена равна 70 кг.

3) Поперечное сечение железнодорожной насыпи представляет собой равнобокую трапецию с углом 450 и основаниями 8 м и 14 м. Сколько земли надо, чтобы сделать такую насыпь на протяжении 100 м.

4) К гидростанции вода подводится по каналу, поперечное сечение которого — трапеция с основаниями 5 м и 17 м, а высота — 4,5 м. (рис. 3). Вычислить расход воды в минуту, если уровень воды в канале 3 м, скорость течения 1,6 м/сек.

5) Выкопан ледник в форме прямоугольного параллелепипеда размером 4 м*5 м*2,5 м. Найти площадь выемки льда на озере, необходимую, чтобы наполнить ледник льдом доверху. Толщина льда на озере 40 см. 8% объема займут пустоты между кусками льда.

6) Найти объем чердака, поперечное сечение которого есть равнобедренный треугольник с основанием 5,6 м и высотой 3,5 м. Длина чердака 12 м.

7) Плот сколочен из 16 балок прямоугольного сечения, из которых каждая длиной 3,6 м, шириной 0,2 м, толщиной 0,25 м. Какой наибольший груз может он поднять, не затонув. Плотность дерева считать 0,84 г/см3.

8) Емкость ковша шагающего экскаватора равна 5 дм³. Сколько раз экскаватор зачерпнет ковшом при рытье канала длиной 1 км, если сечение канала — есть трапеция с основаниями 4 м и 20 м, а боковые стороны трапеции10 м.

9) Автомат по укладке досок в штабели укладывает за 8 часов 13000 досок, размером 5 см*24 см*6 см. Определить в кубических метрах производительность автомата в час.

10) Вычислить максимальную пропускную способность в кубических метрах за час водосточной трубы, сечении которой есть равнобедренный треугольник с основанием 1,4 м и высотой 1,2 м. Скорость течения 2 м/сек.

11) Сколько надо назначить рабочих, чтобы за 6 часов отрыть канаву длиной 25 м. Разрез канавы есть трапеция с основаниями 1 м и 0,7 м. Высота трапеции 0,6 м. За 1 час рабочий может вынуть 0,75 м³ грунта.

12) Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Сколько весит погонный метр трубы? Считать плотность чугуна 7,3 г/см3.

13) Перпендикулярное сечение канала — трапеция с основаниями 6 м и 14 м. Участок канала между шлюзами длиной 2 км вмещает 6*104 м³ воды. Определить глубину канала.

14) Поперечное сечение реки при впадании в озеро можно принять за трапецию с основаниями 25 м и 15 м, а высота 3 м. Какое количество воды поступает из этой реки в озеро за 1 час, если скорость течения реки 200 м/мин.

15) Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см, толщина стенок 0,4 см. Вес куба 514,15 г. Найти плотность металла, из которого сделан куб.

16) Цилиндрическая труба диаметром 65 см имеет высоту 18 м. Сколько жести нужно для изготовления трубы, если на заклепку уходит 10% материала?

17) Конусообразная палатка высотой 3,5 м и диаметром основания 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку, если 5% материала ушло на швы и отходы?

18) Чугунный шар регулятора имеет массу 10 кг. Найти диаметр шара, если его плотность 7,2 г/см3.

Задачи на закрепление знаний по темам: «Объемы многогранников». Объемы тел вращения» (уровень В-С)

1) Куча песка имеет форму конуса, длина окружности основания которого 31,4 м, а образующая 5,4 м.

а) Сколько трехтонных машин потребуется для вывозки песка, если масса 1 м³ песка составляет 2 т?
б) Вычислите объем кучи, используя эмпирическую формулу V = (0,040П-0,012с) с2 (П — длина перекидки, с — длина замкнутой кривой, ограничивающей основание кучи).

2) Стальной вал обтачивается на токарном станке, причем диаметр его уменьшается на 3 мм. Сколько теряет вал в массе при обточке?

Указание. Для ответа на вопрос задачи необходимо измерить диаметр и длину вала. Часть объема вала, уходящего в стружку, находим как разность объемов двух цилиндров одинаковой высоты, разность диаметров которых задана. Для получения ответа на вопрос задачи используется значение удельного веса стали 7,6 кг/см3).

3) Известна формула для вычисления комфортности жилища: К=36пV2/ S3,где К — изопериметрический коэффициент комфортности, V — объем, S — полная поверхность.

Подсчитайте коэффициент комфортности

а) Восточно — Сибирского чума (рис. 4),
б) яранга континентальных эскимосов Аляски (рис. 5),
в) жилища береговых чукчей (рис. 6),
г) жилища аборигенов Северной Австралии (рис. 7),
д) жилища аборигенов Центральной Австралии (рис. 8),
е) жилища народов кирди в Камеруне (рис. 9),
ж) нашего обычного жилища (рис. 10).

Заметим, что наибольшее значение К =1, возможно лишь для сферы, причем не зависит от ее радиуса. Для других тел К меньше 1, причем его величина не зависит от размеров, а зависит от формы тела.

Журнал «Мастер класса» № 2 2011